Les automates cellulaires à une dimension d'espace et une de temps fournissent déjà un outil mathématique intéressant qui permet de simuler plusieurs phénomènes naturels, par exemple la décoration des coquillages de certains mollusques . Ils montrent que des phénomènes complexes peuvent se baser sur un nombre réduit d'informations.
Pour cela, on considère un certain nombre de cellules colorées (couleur = état) alignées que l'on désignera sous le terme de germe. Puis on imagine des règles de transition qui donneront, un instant plus tard, une nouvelle lignée de cellules: on détermine, par exemple, l'état d'une cellule à partir de celui des 2 cellules qui se trouvent au-dessus d'elle à gauche et à droite (e2' = f(e1, e3))
| ... | e1 | e2 | e3 | ... |
| ... | e1' | e2' | e3' | ... |
On peut encore simplifier le système en ne prenant que des fonctions qui ne dépendent que de la somme e1+e3. Le nombre de règles de transition devient raisonnable: si chaque cellule a trois états (0, 1, 2), la somme varie de 0 à 4, il y a donc 3 5 = 243 règles possibles.
La règle de transformation est la suivante: pour trouver la couleur d'une nouvelle cellule, on commence par additionner les valeurs des deux cellules de la génération précédente qui se trouvent à gauche et à droite de la nouvelle cellule . Puis on utilise le tableau de correspondance ci-dessous pour déterminer la couleur à partir de la somme obtenue.
| Somme obtenue | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Couleur attribuée | 2 | 0 | 1 | 0 | 2 |
| Germe | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 |
| Temps 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 2 |
| Temps 2 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| Temps 3 | 2 | 2 | 0 | 2 | 2 |
| Temps 4 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 |
| Pour la quatrième cellule du temps 1 on trouve: Somme: 2+1 =
3
Le tableau fait correspondreà cette somme de 3 la couleur 0. Pour les cellules se situant à une extrémité, on prend en considération les cellules situées à l'autre extrémité, comme si la situation se déroulait sur un cylindre. |
Dans ce cas, on a travaillé avec un voisinage de 2, c'est-à-dire que deux cellules déterminent la nature d'une cellule de la génération suivante. La valeur de ce voisinage peut être augmentée.
Si n est le nombre de couleurs et v la valeur du voisinage, la somme peut valoir de 0 à v(n-1). Donc, le nombre de règles s'élève à n v(n-1)+1. Si n = 2 et v = 3, il y a = 16 règles. Si n = 4 et v = 3, le nombre de règles est 4 10 = 1048576. Belles variables didactiques !
L'étude des rideaux peut se faire à l'aide d'une simple feuille de papier. Il est clair que le travail devient plus intéressant si on dispose d'un ordinateur pour effectuer les calculs et l'on peut alors procéder à une véritable « botanique » des rideaux.
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