Bersaglio moltiplicatore

Identificazione

Rally: 27.II.01 ; categorie: 3, 4 ; ambito: OPN
Famiglie:

• ADD - Cercare una somma o una differenza di numeri
• AM - Addizionare e moltiplicare numeri naturali
• LAC - Completare frasi aperte

Remarque et suggestion

Sunto

Cercare due terne di numeri (da 0 a 7), tutti diversi tra loro, che abbiano come triplo della loro somma un numero dato (27).

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori:

- Comprendere il testo ed appropriarsi della situazione e delle regole del gioco: le sei freccette raggiungono sei zone diverse (due non saranno raggiunte); il punteggio ottenuto sarà il triplo dei numeri scritti 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18 o 21; ciascun giocatore deve ottenere il punteggio 27 con tre freccette; Laura ha raggiunto la zona con il numero 7 e ottiene perciò un punteggio di 21 con una delle sue freccette.

- Comprendere che si tratta di cercare due volte tre numeri diversi (due terne), tra i numeri dei punteggi scritti qui sopra e la cui somma sia 27

• - la prima terna con il punteggio 21 (per Laura) è determinata in modo univoco: c’è una sola soluzione (21 + 0 + 6 = 27);

• - la seconda terna da scegliere tra i numeri rimasti 3, 9, 12, 15 o 18 è anch’essa determinata (3 + 9 + 15 = 27).

- Riprendere i numeri scritti nelle varie zone per avere le due risposte: (0 , 2 , 7) per Laura e (1 , 3 , 5) per Giacomo.

Oppure

- Procedere in modo analogo considerando le terne di numeri la cui somma sia 9, un terzo di 27, senza dover fare il triplo di ciascuno.

Oppure

- Procedere per tentativi.

Nozioni matematiche

numero naturale, addizione, somma, triplo, moltiplicazione, uguaglianza, commutatività, associatività

Risultati

27.II.01

Punti attribuiti su 1553 classi di 20 sezioni:

Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta (per Laura: 0 – 7 – 2 e per Giacomo: 1 – 3 – 5) (non ha importanza l’ordine in cui i numeri vengono scritti) con esplicitazione di tutti i calcoli effettuati (sufficiente anche la sola verifica)
• 3 punti: Risposta corretta, ma non tutti i calcoli sono esplicitati
  oppure indicati i punteggi invece dei numeri delle zone: (0 , 6 , 21) per Laura e (3 , 9 , 15) per Giacomo, con calcoli esplicitati
  oppure risposta corretta per uno dei due amici ed errata l’altra per errore di calcolo, con esplicitazione dei calcoli
• 2 punti: Risposta corretta senza spiegazione
  oppure risposta corretta per uno dei due amici ed errata l’altra per il mancato rispetto di una delle condizioni
• 1 punto: Risposta corretta solo per uno dei due amici
  oppure indicati i punteggi invece dei numeri delle zone per uno solo dei bambini
  oppure tentativi che mettono in luce la comprensione della situazione
• 0 punto: Incomprensione del problema

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

La maggior parte dei gruppi comincia dalla zona 7, come indotto dal testo, moltiplicano per 3 per ottenere 21; si rendono conto che mancano 6 punti e che c'è solo un'altra zona adatta, quella del 2 (2 x 3 = 6), constatano che, per Laura, la terza zona non può che essere quella con 0.

Per le freccette di Giacomo rimangono le zone con i numeri 1, 3, 4, 5, 6. L’unica terna possibile è 1, 3, 5; alcuni hanno fatto l’errore di prendere anche 4, 5, 0 contrariamente alla consegna: due freccette non possono stare nella stessa zona.

Esistono pochissime procedure per tentativi in cui i gruppi iniziano calcolando tutte le triple dei numeri da 0 a 7 e scegliendo, tra i loro multipli di 3, quelli la cui somma è 27.

Pochissimi gruppi scoprono, dopo aver completato la divisione 27 : 3 = 9, che il problema può essere ridotto alla ricerca di tre numeri da 0 a 7 con somma 9.

Il problema viene considerato adeguato per la cat. 4, mentre si rilevano alcuni ostacoli per la cat. 3:

- il testo è lungo;

- nella frase “ogni freccetta ha colpito una zona diversa del bersaglio” la presenza del quantificatore “ogni” è risultata di non immediata comprensione, sarebbe stato più chiaro scrivere “tutte le freccette hanno colpito una zona diversa del bersaglio”

- le informazioni fornite obbligano a partire da Laura; potrebbe risultare, quindi, più semplice per i bambini se l’ordine delle domande venisse invertito;

- la modalità discorsiva con la quale le condizioni sono presentate nel testo può rendere la comprensione più difficoltosa: un elenco puntato restituirebbe chiarezza.

Tra gli errori rilevati si segnalano:

- la non appropriazione del contesto (non considerano il vincolo che ogni freccia deve colpire una zona diversa del bersaglio e/o che le freccette di ogni giocatore devono essere tre, infatti i 27 punti possono essere raggiunti anche con solo due freccette);

- la confusione tra punteggio e numero scritto in una zona (i gruppi indicano coppie o terne di punteggi anziché terne di numeri che identificano le tre zone).

Indicazioni didattiche

L’analisi a posteriori del problema suggerisce alcune azioni didattiche quali:

- proporre un testo semplificato per la cat.3: pur lasciando invariati contesto e compito matematico, si può agire sia sulla grafica (utilizzo elenco puntato per i vincoli) sia sulla semplificazione logica di alcune frasi;

- lavorare sui quantificatori perché, se è vero che creano difficoltà, è altrettanto necessario creare una base che aiuti gli allievi nella loro comprensione e nell’uso corretto degli stessi. A tale scopo, si possono preparare attività di “gioco-azione”, da proporre anche ai più piccoli in contesti esperenziali che, a partire dalla comprensione e dall’uso appropriato di aggettivi e pronomi indefiniti, proseguano con l’utilizzo di espressioni comuni in modo da favorire la progressiva concettualizzazione;

- approfondire il comportamento dello 0 nelle operazioni.

Per andare più lontano

Creare varianti del problema per migliorare:

- la comprensione del passaggio di uno o più numeri al loro doppio, triplo, … n-uplo;

- la consapevolezza che ci possono essere più soluzioni;

- l’organizzazione nella gestione di più vincoli numerici, che risulta molto vantaggiosa quando questi impiegano valori non facilmente dominabili;

- la convenienza di utilizzare strategie più furbe che permettano di lavorare con numeri più piccoli (es. nel caso esaminato era più furbo cercare tre numeri la cui somma fosse 9 anziché tre numeri per i quali la somma dei loro tripli fosse 27).

Agendo sulle variabili didattiche si possono indirizzare gli alunni a fare un salto di qualità!

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