Banca di problemi del RMT
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Ricostruire una moltiplicazione tra un fattore di tre cifre e un fattore di due cifre secondo un algoritmo di cui viene dato lo schema vuoto, sapendo che devono essere utilizzate solo le cifre 2, 3, 5 e 7.
Analisi a priori
- Verificare dapprima sistematicamente i prodotti delle possibili cifre delle unità e constatare che sono possibili solo cinque coppie (3;5), (5;3) (5;5), (5;7), (7;5). Le altre coppie conducono infatti ad una cifra delle unità nel primo prodotto che non è nella lista delle cifre autorizzate, come per esempio 7 × 3 = 21 che dà 1 come cifra delle unità.
- Scegliere una coppia, ad esempio (3;5), e continuare con la ricerca delle cifre delle decine del moltiplicando. In questo esempio, poiché c’è il riporto di 1, il prodotto di 5 per ciascuna delle cifre (numero) autorizzate, più il riporto 1, dà 6 oppure 1 e non va bene (fig. 1).
- Provare poi, ad esempio, con la coppia (5;3). La cifra delle decine del moltiplicando può essere solo 7 (per il ragionamento precedente del riporto 1 e di un prodotto che porti ad una cifra consentita: 3×7 = 21 che con il riporto 1 arriva alla somma avente come cifra delle decine 2 (fig. 2)). Negli altri casi si arriva ad una cifra delle decine, non consentita.
- Capire che anche la cifra delle centinaia del moltiplicando non può che essere 7, cosa che porta ad avere 2 e 3 per le prime due cifre del primo prodotto parziale (fig. 3). Lo stesso ragionamento permette di constatare che la cifra delle decine del moltiplicatore non può che essere 3 (fig. 4)
- Verificare, infine, che il risultato contiene le sole cifre consentite 2, 3, 5 e 7, cosa che dà la soluzione cercata (fig. 5):
Come è detto nell’enunciato, c’è una sola soluzione. Non è dunque necessario verificare a partire dalle coppie (5;7), (7;5) 𝑒 (5;5) della lista iniziale. Ma, se si prova con una di queste tre coppie prima della coppia (5;3), si arriva in ogni caso ad un vicolo cieco: rapidamente con (7;5), a causa del resto di 3 che farebbe apparire un 8 nelle decine del primo quoziente parziale e un po’ dopo nel caso della coppia (5;7); nell’addizione finale per la coppia (5;5) poiché i prodotti parziali possono essere 5×555=2775, ma il prodotto finale contiene due cifre non autorizzate 55 × 555 = 30525.
algorithme, multiplication, facteur, numération, chiffre, millier, centaine, dizaine, unité, casse-tête
Punti attribuiti, su 149 classi di 18 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 7 | 23 (45%) | 10 (20%) | 6 (12%) | 8 (16%) | 4 (8%) | 51 | 1.22 |
| Cat 8 | 9 (19%) | 11 (23%) | 7 (15%) | 14 (30%) | 6 (13%) | 47 | 1.94 |
| Cat 9 | 7 (26%) | 2 (7%) | 4 (15%) | 4 (15%) | 10 (37%) | 27 | 2.3 |
| Cat 10 | 6 (25%) | 3 (13%) | 2 (8%) | 6 (25%) | 7 (29%) | 24 | 2.21 |
| Totale | 45 (30%) | 26 (17%) | 19 (13%) | 32 (21%) | 27 (18%) | 149 | 1.8 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
cfr. Una strana moltiplicazione, 15.F.15
(c) ARMT, 2018-2025