Banca di problemi del RMT
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Confrontare l’area interna ed esterna di un poligono disegnato su una griglia quadrettata 6 x 6. Il poligono ha un asse di simmetria e i suoi vertici si trovano sulle intersezioni della quadrettatura.
Decontestualizzare la situazione: passare dall’immagine del “cuore in rosso” e del “resto del quadrato in azzurro” alle figure geometriche e capire che l’espressione “la parte più grande” si riferisce alle aree delle figure.
Scomporre, mentalmente o con il disegno dei segmenti, le due forme in figure più semplici o elementari: quadrati della griglia quadrata o triangoli.
Fatta la scomposizione contare i quadrati della griglia dopo aver fatto i raggruppamenti o le compensazioni necessarie per avere dei quadrati interi o determinare l’area dei triangoli. Effettuare le addizioni corrispondenti e confrontare le aree totali.
Saperi mobilizzati nell’ambito geometrico: concetto di unità d’area (quadretti della griglia), equivalenza e trasformazione di unità d’area, scomposizione o ricomposizione di parti di quadretti della griglia per spostamenti (traslazione o rotazione), calcolo dell’area del rettangolo sulla griglia; nell’ambito aritmetico: conteggio, addizione.
poligono, griglia quadrata, area, scomposizione, triangolo, quadrato, unità, conteggio
Punteggi attribuiti su 1673 elaborati di 22 sezioni
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 5 | 118 (20%) | 149 (25%) | 124 (21%) | 66 (11%) | 128 (22%) | 585 | 1.89 |
| Cat 6 | 163 (15%) | 301 (28%) | 240 (22%) | 161 (15%) | 223 (20%) | 1088 | 1.98 |
| Totale | 281 (17%) | 450 (27%) | 364 (22%) | 227 (14%) | 351 (21%) | 1673 | 1.95 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
* o risposta non corretta per un errore di conteggio, di misura o di calcolo
1. Per triangoli
La parte inferiore è scomposta in due rettangoli 3 × 4 suddivisi entrambi in due triangoli rettangoli dal contorno della figura.
La parte superiore è scomposta in due quadrati centrali 2 × 2 e due rettangoli a destra e a sinistra del tipo 1 × 2; ciascuno di questi poligoni suddiviso in due triangoli rettangoli dal contorno della figura.
“La spiegazione” può presentarsi sotto forme differenti:
- le misure d’area (in quadrati unità della griglia) sono scritte in ciascun triangolo: 1 e 2 nella parte superiore, 6 nella parte inferiore; talvolta senza commenti, talvolta con una descrizione dettagliata del tipo: Abbiamo ritagliato tutto in quadrati e rettangoli / In un quadrato o in un rettangolo ci sono due triangoli / Abbiamo calcolato l’area dei rettangoli e dei quadrati / Abbiamo diviso per due l’area dei rettangoli e dei quadrati per avere l’area dei triangoli / Abbiamo addizionato la totalità del cuore / Abbiamo addizionato la totalità del resto / Abbiamo finito per trovare che il cuore e il resto hanno la stessa area.
- delle doppie frecce indicano i rettangoli equivalenti, gli uni in rosso e i loro corrispondenti in blu,
- dei commenti sulla scomposizione o la sovrapposizione del parti, del tipo: Quando si separa il disegno in vari pezzi si osserva che è la stessa parte nel cuore e fuori dal cuore o ancora: Abbiamo osservato che se si ritagliano le parti si possono sistemare sul cuore. Dunque, come sul disegno (preciso, con sei colori per i sei rettangoli e quadrati) i colori sono delle parti dell’esterno che possono essere all’interno. Poiché si possono mettere tutte le parti dell’esterno nel cuore questo significa che le parti sono uguali.
In questa categoria di procedure, bisogna anche rilevare la sovrapposizione tramite le parti esterne dopo il ritaglio.
2. Con conteggio dei quadretti della griglia
Sono presi in conto i quadretti interi e le parti di quadretto sono raggruppate per ricostituire dei quadretti interi. “La spiegazione” si presenta in forme molto diverse:
- i quadretti e le parti di quadretti sono numerati o colorati, o raggruppati con delle frecce;
- un conteggio è effettuato segnalando con un simbolo dei quadretti dell’una o dell’altra delle due parti, molto sovente seguito dal risultato: 18 per parte;
- un conteggio è effettuato è effettuato senza precisare il suo sviluppo, con frequenti errori, per esempio: Abbiamo contato i quadretti nel cuore e quelli all’esterno, la parte rossa è più grande - La parte più grande è la parte rossa dunque il cuore. Ho trovato contando i quadretti e i mezzi quadretti e i quarti di quadretto e ho trovato la parte che ne aveva di più.
Ciascuna di queste procedure è presente con varianti molto diverse.
Gli ostacoli e gli errori
Nelle procedure per conteggio dei quadretti della griglia, gli ostacoli risiedono nella ricomposizione delle parti di quadretti. Per la parte superiore, il contorno del cuore divide i quadretti e i semi quadretti triangolari o in quarti di quadretti triangolari o in tre quarti di quadrettini a forma di trapezio; il compito di ricomposizione è facilitato in questo caso. La cosa è più delicata nella parte inferiore dove il contorno segue la diagonale dei rettangoli di tipo 3 × 4 e divide sei quadretti in triangoli e trapezi di tre grandezze differenti, cosa che rende la ricomposizione molto più delicata.
Il conteggio dei quadretti conduce di conseguenza ad errori in circa un terzo dei casi.
Pochissimi elaborati mostrano che gli allievi fanno il rapporto tra l’area di queste parti e quella del quadrato intero. Per esempio: Abbiamo contato i quadretti interi (16) poi abbiamo guardato quanti quadretti c’erano fuori dal cuore e abbiamo fatto 36 – 16 = 20. Risultato: la parte del cuore è la più grande. (le dimensioni del quadrato sono designate con “6 quadretti” e il calcolo 6 × 6 = 36 figura accanto al disegno).
I calcoli d’area effettuati sulla base di misure in cm e mm sono sempre inefficaci (nei 6 elaborati osservati su 82).
Le analisi degli elaborati confermano da tutti i punti di vista le osservazioni fatte sugli altri problemi di questa famiglia di compiti.
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